R+ nach R+/Invertierung links und rechts/Fortsetzung/Aufgabe

Es sei

$g\colon ]0,1]\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine stetige Funktion mit ${}g(1)=1$. Zeige, dass durch

${}f(x):={\begin{cases}g(x)\,,{\text{ für }}x\leq 1,\,\\{\frac {1}{g\left({\frac {1}{x}}\right)}}{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

eine Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

gegeben ist, die die Bedingung

${}f\left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {1}{f(x)}}\,$

für alle ${}x\in \mathbb {R} _{+}$

erfüllt.

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