R^n/Borel-Mengen/Durch Quader erzeugt/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beweisen den Zusatz. Es genügt zu zeigen, dass jede offene Menge im ${}\mathbb {R} ^{n}$ sich als eine abzählbare Vereinigung von achsenparallelen offenen Quadern mit rationalen Eckpunkten schreiben lässt. Da die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist, ist auch die Menge aller Quader mit rationalen Ecken abzählbar. Wir müssen daher nur zeigen, dass jede offene Menge eine Vereinigung von offenen achsenparallelen Quadern mit rationalen Ecken ist. Es sei dazu ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei ${}x\in U$ ein Punkt. Daher gibt es ein ${}\epsilon >0$, das wir rational wählen können, mit

${}x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\,.$

Jede Koordinate ${}x_{i}$ ist eine reelle Zahl, und damit der Limes einer Folge von rationalen Zahlen. Sei

${}y=(y_{1},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {Q} ^{n}\,$

mit

${}d(x_{i},y_{i})<{\frac {\epsilon }{3n}}\,.$

für alle ${}i=1,\ldots ,n$. Damit ist einerseits

${}x\in Q={]y_{1}-{\frac {\epsilon }{3n}},y_{1}+{\frac {\epsilon }{3n}}[}\times \cdots \times {]y_{n}-{\frac {\epsilon }{3n}},y_{n}+{\frac {\epsilon }{3n}}[}\,$

und andererseits gilt für ${}z\in Q$ die Beziehung

${}d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\leq {\frac {\epsilon }{3}}+{\frac {\epsilon }{3}}<\epsilon \,,$

also ${}z\in U{\left(x,\epsilon \right)}$. Damit ist ${}x\in Q\subseteq U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U$. Die Vereinigung dieser so konstruierten Quader ist genau ${}U$.

Zur bewiesenen Aussage