Zum Inhalt springen
Hauptmenü
Hauptmenü
In die Seitenleiste verschieben
Verbergen
Navigation
Hauptseite
Hochschule
Schule
Erwachsenenbildung
Selbststudium
Cafeteria
News
Kontakt
Mitarbeit
Letzte Änderungen
Tutorial
Richtlinien
AG Wikiversity
Über Wikiversity
Suche
Suchen
Erscheinungsbild
Spenden
Benutzerkonto erstellen
Anmelden
Meine Werkzeuge
Spenden
Benutzerkonto erstellen
Anmelden
Seiten für abgemeldete Benutzer
Weitere Informationen
Beiträge
Diskussionsseite
R^n/Offene Menge/Trivialer Zusammenhang/Ableitungseigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung
Sprachen hinzufügen
Links hinzufügen
Seite
Diskussion
Deutsch
Lesen
Bearbeiten
Versionsgeschichte
Werkzeuge
Werkzeuge
In die Seitenleiste verschieben
Verbergen
Aktionen
Lesen
Bearbeiten
Versionsgeschichte
Allgemein
Links auf diese Seite
Änderungen an verlinkten Seiten
Datei hochladen
Spezialseiten
Permanenter Link
Seiteninformationen
Seite zitieren
Gekürzte URL abrufen
QR-Code runterladen
Drucken/exportieren
Buch erstellen
Als PDF herunterladen
Druckversion
In anderen Projekten
Erscheinungsbild
In die Seitenleiste verschieben
Verbergen
Aus Wikiversity
<
R^n/Offene Menge/Trivialer Zusammenhang/Ableitungseigenschaften/Fakt
|
Beweis
|
Aufgabe
Dies ergibt sich aus der expliziten Beschreibung der vertikalen Ableitung zu einem linearen Zusammenhang, siehe
Bemerkung
.
Klar wegen (1).
Folgt aus (2) und aus
Fakt
.
Wir schreiben
V
=
∑
i
=
1
n
h
i
∂
i
{\displaystyle {}V=\sum _{i=1}^{n}{h_{i}}\partial _{i}}
und
W
=
∑
j
=
1
n
f
j
∂
j
{\displaystyle {}W=\sum _{j=1}^{n}{f_{j}}\partial _{j}}
. Nach
Fakt
und den schon bewiesenen Teilen ist
∇
V
W
=
∇
∑
i
=
1
n
h
i
∂
i
(
∑
j
=
1
n
f
j
∂
j
)
=
∑
j
=
1
n
(
∑
i
=
1
n
h
i
∂
i
f
j
)
∂
j
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\nabla _{V}W&=\nabla _{\sum _{i=1}^{n}{h_{i}}\partial _{i}}{\left(\sum _{j=1}^{n}{f_{j}}\partial _{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}h_{i}\partial _{i}f_{j}\right)}\partial _{j}.\end{aligned}}}
Für einen Punkt
P
∈
U
{\displaystyle {}P\in U}
ist dies
∑
j
=
1
n
(
∑
i
=
1
n
h
i
(
P
)
(
∂
i
f
j
)
(
P
)
)
∂
j
.
{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}h_{i}(P)(\partial _{i}f_{j})(P)\right)}\partial _{j}.}
Ebenso ist
(
D
W
)
P
(
V
(
P
)
)
=
(
(
∂
j
f
i
)
(
P
)
)
j
i
(
h
1
(
P
)
⋮
h
n
(
P
)
)
=
(
∑
i
=
1
n
h
i
(
P
)
(
∂
i
f
1
)
(
P
)
⋮
∑
i
=
1
n
h
i
(
P
)
(
∂
i
f
n
)
(
P
)
)
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(DW\right)}_{P}{\left(V(P)\right)}&={\left((\partial _{j}f_{i})(P)\right)}_{ji}{\begin{pmatrix}h_{1}(P)\\\vdots \\h_{n}(P)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\sum _{i=1}^{n}h_{i}(P){\left(\partial _{i}f_{1}\right)}(P)\\\vdots \\\sum _{i=1}^{n}h_{i}(P){\left(\partial _{i}f_{n}\right)}(P)\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}
Zur gelösten Aufgabe
Kategorien
:
Theorie der linearen Zusammenhänge auf Vektorbündeln/Lösungen
Mathematischer Text/wd