R^n ohne 0/Geschlossene nicht exakte n-1-Form/Durch Rückzug von Sphäre/Aufgabe

Wir betrachten die stetig differenzierbare Abbildung ($n\geq 2$)

$\pi \colon \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}\longrightarrow S^{n-1},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto {\frac {1}{\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}}(x_{1},\ldots ,x_{n}).$

Es sei ${}\omega$ die kanonische Volumenform auf ${}S^{n-1}$. Zeige, dass ${}\pi ^{*}\omega$ auf ${}\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$ eine geschlossene, aber keine exakte ${}n-1$-Differentialform ist.

Eine Lösung erstellen