R/Überabzählbar/Fakt/Beweis

Beweis

 Nehmen wir an, die Menge der reellen Zahlen sei abzählbar, dann ist insbesondere auch das Einheitsintervall ${}[0,1[$ abzählbar. Es sei also

$\psi \colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow [0,1[$

eine surjektive Abbildung. Wir betrachten die reellen Zahlen als Ziffernfolgen im Dreiersystem: Jede reelle Zahl ${}r\in [0,1[$ besitzt eine eindeutig bestimmte Darstellung als Reihe

${}r=\sum _{k=1}^{\infty }z_{k}(r)3^{-k}\,,$

wobei die ${}k$-te Nachkommaziffer ${}z_{k}(r)\in \{0,1,2\}$ ist und wobei nicht fast alle Ziffern gleich ${}2$ sind (sonst hätte man keine Eindeutigkeit). Wir definieren nun eine reelle Zahl durch ${}s=\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}3^{-k}$ mit

${}b_{k}={\begin{cases}0,{\text{ falls }}(\psi (k))_{k}=1{\text{ oder }}2,\\1,\,{\text{ falls }}(\psi (k))_{k}=0\,.\end{cases}}\,$

Wir behaupten, dass diese Zahl ${}s$ nicht in der Aufzählung ${}\psi$ vorkommt. Für jedes ${}k\in \mathbb {N}$ ist nämlich

${}\psi (k)\neq s\,,$

da ${}\psi (k)$ sich nach Konstruktion von ${}s$ an der ${}k$-ten Nachkommastelle unterscheidet. Also ist ${}\psi$ doch nicht surjektiv.

Zur bewiesenen Aussage