Beweis
Nehmen wir an, die Menge der reellen Zahlen sei
abzählbar, dann ist insbesondere auch das
Einheitsintervall
abzählbar. Es sei also
-
eine
surjektive Abbildung.
Wir betrachten die reellen Zahlen als Ziffernfolgen im Dreiersystem: Jede reelle Zahl
besitzt eine eindeutig bestimmte Darstellung als
Reihe
-
![{\displaystyle {}r=\sum _{k=1}^{\infty }z_{k}(r)3^{-k}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2adf6175e4d38f7eacfbe6287612375f235c601)
wobei die
-te Nachkommaziffer
ist und wobei nicht
fast alle
Ziffern gleich
sind
(sonst hätte man keine Eindeutigkeit).
Wir definieren nun eine reelle Zahl durch
mit
-
![{\displaystyle {}b_{k}={\begin{cases}0,{\text{ falls }}(\psi (k))_{k}=1{\text{ oder }}2,\\1,\,{\text{ falls }}(\psi (k))_{k}=0\,.\end{cases}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e571863d1e00cc305b01276a10e070a6856f19e)
Wir behaupten, dass diese Zahl
nicht in der Aufzählung
vorkommt. Für jedes
ist nämlich
-
![{\displaystyle {}\psi (k)\neq s\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc37c88bb3472d757c2eb88ff0e654d8e7bcc6ac)
da
sich nach Konstruktion von
an der
-ten Nachkommastelle unterscheidet. Also ist
doch nicht surjektiv.