R/Konvergente Folge/Grenzwertabbildung/Ordnungstheoretisch/Aufgabe

Es sei ${}\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ die Menge aller reellen Folgen, versehen mit der Produktordnung und sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ die Teilmenge aller konvergenten Folgen. Zeige, dass die Abbildung

$T\longrightarrow \mathbb {R} ,\,{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\longmapsto \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n},$

ordnungstreu, aber nicht ordnungsvolltreu ist.

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