Rationale Funktionen/Körper/Einführung/Textabschnitt

Die nach den Polynomfunktionen einfachsten Funktionen sind die rationalen Funktionen.

Definition

Zu Polynomen ${}P,Q\in K[X]$, ${}Q\neq 0$, heißt die Funktion

$D\longrightarrow K,\,x\longmapsto {\frac {P(x)}{Q(x)}},$

wobei ${}D\subseteq K$ das Komplement der Nullstellen von ${}Q$ ist, eine rationale Funktion.

Für uns ist der Fall ${}K={\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ oder ${}={\mathbb {C} }$ wichtig.

Man kann Brüche ${}P/Q$ von Polynomen als Funktionen auffassen, die außerhalb der Nullstellen des Nenners definiert sind. Das Beispiel zeigt den Graph der rationalen Funktion ${}1/X$.

Der Polynomring ${}K[X]$ ist ein kommutativer Ring, aber kein Körper. Man kann aber mit Hilfe der rationalen Funktionen einen Körper konstruieren, der den Polynomring enthält, ähnlich wie man aus ${}\mathbb {Z}$ die rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ konstruieren kann. Dazu definiert man ${}K(X):={\left\{{\frac {P}{Q}}\mid P,Q\in K[X],\,Q\neq 0\right\}}$, wobei man wieder zwei Brüche ${}{\frac {P}{Q}}$ und ${}{\frac {P'}{Q'}}$ miteinander identifiziert, wenn ${}PQ'=P'Q$ ist. Auf diese Weise entsteht der Körper der rationalen Funktionen (über ${}K$).