Rationale Funktionen/Körper/Einführung/Textabschnitt

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Die nach den Polynomfunktionen einfachsten Funktionen sind die rationalen Funktionen.


Definition  

Zu zwei Polynomen , , heißt die Funktion

wobei das Komplement der Nullstellen von ist, eine rationale Funktion.

Für uns ist der Fall oder wichtig.

Man kann Brüche von Polynomen als Funktionen auffassen, die außerhalb der Nullstellen des Nenners definiert sind. Das Beispiel zeigt den Graph der rationalen Funktion .

Der Polynomring ist ein kommutativer Ring, aber kein Körper. Man kann aber mit Hilfe der rationalen Funktionen einen Körper konstruieren, der den Polynomring enthält, ähnlich wie man aus die rationalen Zahlen konstruieren kann. Dazu definiert man . wobei man wieder zwei Brüche und miteinander identifiziert, wenn ist. Auf diese Weise entsteht der Körper der rationalen Funktionen (über ).