Rationale Funktionen/Nullstellenfrei/Ring/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Funktionen ${}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K$ der Form

${}\varphi ={\frac {P}{Q}}\,$

mit Polynomen ${}P,Q\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und ${}Q$ nullstellenfrei auf ${}K^{n}$ einen kommutativen Ring bilden. Zeige, dass bei ${}K$ algebraisch abgeschlossen dieser mit dem Polynomring übereinstimmt.

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