Rationale Zahl/Charakterisierung mit periodischer Dezimalentwicklung/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei eine rationale Zahl, von der wir annehmen können, dass sie in liegt. Es sei

die nach Fakt zugehörige Zifferenentwicklung gemäß dem Rekursionsschema und . Es ist einerseits und andererseits sind die rationale Zahlen mit als Nenner. D.h. muss eine der Zahlen

sein. Unter den muss es also irgendwann eine Wiederholung geben, sagen wir mit . Da die Zahlen und nur von abhängen, ist , , u.s.w, d.h., es liegt eine Periodizität vor.
Es liege eine periodische Ziffernentwicklung für die reelle Zahl vor. Da sich die Eigenschaft, eine rationale Zahl zu sein, weder bei Multiplikation mit einer rationalen Zahl noch bei Addition mit einer rationalen Zahl ändert, können wir sofort annehmen, dass die Ziffernentwicklung die Form

besitzt. Die dadurch definierte Zahl können wir als

auffassen, wobei die Einsen an der -ten, -ten u.s.w. Stelle stehen. Wir müssen uns also nur noch um periodische Ziffernentwicklungen von dieser speziellen Art kümmern. Wir betrachten die Folge

deren Glieder approximierende abbrechende Ziffernentwicklungen von sind (wobei manche übersprungen werden). Aufgrund von Aufgabe ist

Der Limes davon (für gegen unendlich) ist, da ja gegen konvergiert, gleich

wobei jeweils Neunen vorkommen. Diese Zahl ist also rational.

Zur bewiesenen Aussage