Rationale Zahlen/Elementar/Ordnung/Archimedisch/Ganze Zahlen/Einführung/Textabschnitt

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Lemma  

Zu jeder rationalen Zahl

gibt es eine natürliche Zahl mit

Beweis  

Sei

mit positivem . Wenn negativ ist, kann man jede natürliche Zahl nehmen. Wenn nicht negativ ist, so ist

und damit

gemäß der Definition der Ordnung auf den rationalen Zahlen.


Vor der folgenden Definition erinnern wir daran, dass jeder angeordnete Körper (und jeder angeordnete Ring ) die ganzen Zahlen enthält.


Definition  

Es sei ein angeordneter Körper. Dann heißt archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem eine natürliche Zahl mit

gibt.

Gemäß Fakt sind die rationalen Zahlen archimedisch angeordnet. Die reellen Zahlen bilden ebenfalls, wie wir später in Fakt sehen werden, einen archimedisch angeordneten Körper. Man kann sich darüber streiten, ob jeder angeordnete Körper, für den die Zahlengerade ein sinnvolles Modell ist, bereits archimedisch angeordnet ist. Da die Zahlengerade eine geometrisch-intuitives Konstrukt ist, lässt sich dies nicht endgültig entscheiden. Es geht um die Frage, ob die Vorstellung einer Zahlengeraden umfasst, dass es jenseits eines jeden Punktes auf der Geraden noch größere natürliche Zahlen gibt. Unabhängig davon sei bemerkt, dass es angeordnete Körper gibt, die nicht archimedisch angeordnet sind, siehe Aufgabe.



Lemma  

In einem archimedisch angeordneten Körper

gibt es zu jedem Element eine eindeutig bestimmte ganze Zahl mit

Beweis  

Dass es ganze Zahlen mit

gibt folgt unmittelbar aus der Definition bzw. für die untere Grenze aus Aufgabe. Da es nur endlich viele ganze Zahlen zwischen und gibt, findet man auch die zu nächstliegenden ganzen Zahlen.