Rationaler Funktionenkörper/n/Grundkörper/Algebraisch abgeschlossen/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}f\in K(X_{1},\ldots ,X_{n})$ algebraisch über ${}K$, es ist ${}f\in K$ zu zeigen. Unter Verwendung der Körperkette

${}K\subset K(X_{1})\subset K(X_{1},X_{2})\subset \ldots \subset K(X_{1},\ldots ,X_{n})\,$

genügt es, die Aussage für  ${}n=1$  zu zeigen. Es sei also  ${}f=P/Q$  mit Polynomen ${}P,Q\in K[X]$ und sei eine algebraische Relation

${}a_{n}f^{n}+\cdots +a_{0}=0\,$

mit  ${}a_{n}\neq 0$  gegeben. Wegen der Faktorialität des Polynomringens können wir ${}P$ und ${}Q$ als teilerfremd annehmen. Multiplikation der algebraischen Relation mit ${}Q^{n}$ führt auf

${}a_{n}P^{n}+a_{n-1}P^{n-1}Q+\cdots +a_{0}Q^{n}=0\,$

bzw. auf

${}a_{n}P^{n}=Q{\left(a_{n-1}P^{n-1}+\cdots +a_{0}Q^{n-1}\right)}\,.$

Also ist ${}Q$ ein Teiler von ${}P^{n}$ und somit nach dem Lemma von Euklid von ${}P$, was wegen der Teilerfremdheit bedeutet, dass ${}Q$ zu ${}K$ gehört. D.h. ${}f$ ist ein Polynom. Wenn ${}f$ einen positiven Grad  ${}d\geq 1$ 

hätte, so könnte aus Gradgründen keine algebraische Relation bestehen. Also ist ${}f$ ein konstantes Polynom und somit ${}f\in K$.

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