Raum mit Halbmetrik/Quotientenmenge/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Die Symmetrie und die Reflexivität sind direkt klar. Bei  $x\sim y$  und  $y\sim z$,  also  $d(x,y)=0=d(y,z)$,  folgt aus der Dreiecksabschätzung  $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$  sofort  $d(x,z)=0$,  also  $x\sim z$. 
2. Wir müssen zeigen, dass durch

   $\tilde{d}([x],[y]):=d(x,y)$

   eine wohldefinierte Metrik definiert ist. Seien  $x\sim x^{\prime }$  und  $y\sim y^{\prime }$,  also  $d(x,x^{\prime })=0$  und  $d(y,y^{\prime })=0$.  Dann ist nach der Dreiecksabschätzung

   $d(x,y)\le d(x,x^{\prime })+d(x^{\prime },y^{\prime })+d(y^{\prime },y)=d(x^{\prime },y^{\prime })$

   und ebenso  $d(x^{\prime },y^{\prime })\le d(x,y)$,  also  $d(x^{\prime },y^{\prime })=d(x,y)$,  was die Wohldefiniertheit von $\tilde{d}$ bedeutet. Die Symmetrie, die Semipositivität und die Dreiecksabschätzung von $d$ übertragen sich direkt auf $\tilde{d}$. Aus  $\tilde{d}([x],[y])=0$  folgt direkt  $d(x,y)=0$,  also  $x\sim y$  und damit  $[x]=[y]$. 

3. Sei  $U\subseteq M/\sim$  offen und sei $V$ das Urbild davon. Sei  $x\in V$  ein Punkt. Nach Voraussetzung gibt es ein  $ϵ>0$  mit  $U([x],ϵ)\subseteq U$  in $M/\sim$. Daraus folgt direkt  $U(x,ϵ)\subseteq V$,  da $U(x,ϵ)$ das Urbild von $U([x],ϵ)$ ist.
4. Dies ergibt sich, da äquivalente Punkte in $M$ die gleichen offenen Ballumgebungen besitzen.

Zur bewiesenen Aussage