Raum mit Halbmetrik/Quotientenmenge/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Die Symmetrie und die Reflexivität sind direkt klar. Bei ${}x\sim y$ und ${}y\sim z$, also ${}d(x,y)=0=d(y,z)$, folgt aus der Dreiecksabschätzung ${}d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ sofort ${}d(x,z)=0$, also ${}x\sim z$.
2. Wir müssen zeigen, dass durch

   ${}{\tilde {d}}([x],[y]):=d(x,y)\,$

   eine wohldefinierte Metrik definiert ist. Seien ${}x\sim x'$ und ${}y\sim y'$, also ${}d(x,x')=0$ und ${}d(y,y')=0$. Dann ist nach der Dreiecksabschätzung

   ${}d(x,y)\leq d(x,x')+d(x',y')+d(y',y)=d(x',y')\,$

   und ebenso ${}d(x',y')\leq d(x,y)$, also ${}d(x',y')=d(x,y)$, was die Wohldefiniertheit von ${}{\tilde {d}}$ bedeutet. Die Symmetrie, die Semipositivität und die Dreiecksabschätzung von ${}d$ übertragen sich direkt auf ${}{\tilde {d}}$. Aus ${}{\tilde {d}}([x],[y])=0$ folgt direkt ${}d(x,y)=0$, also ${}x\sim y$ und damit ${}[x]=[y]$.

3. Sei ${}U\subseteq M/\sim$ offen und sei ${}V$ das Urbild davon. Sei ${}x\in V$ ein Punkt. Nach Voraussetzung gibt es ein ${}\epsilon >0$ mit ${}U{\left([x],\epsilon \right)}\subseteq U$ in ${}M/\sim$. Daraus folgt direkt ${}U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq V$, da ${}U{\left(x,\epsilon \right)}$ das Urbild von ${}U{\left([x],\epsilon \right)}$ ist.
4. Dies ergibt sich, da äquivalente Punkte in ${}M$ die gleichen offenen Ballumgebungen besitzen.

Zur bewiesenen Aussage