Raum mit Halbmetrik/Quotientenmenge/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Die Symmetrie und die Reflexivität sind direkt klar. Bei  ${}x\sim y$  und  ${}y\sim z$,  also  ${}d(x,y)=0=d(y,z)$,  folgt aus der Dreiecksabschätzung  ${}d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$  sofort  ${}d(x,z)=0$,  also  ${}x\sim z$. 
2. Wir müssen zeigen, dass durch

   ${}{\tilde {d}}([x],[y]):=d(x,y)\,$

   eine wohldefinierte Metrik definiert ist. Seien  ${}x\sim x'$  und  ${}y\sim y'$,  also  ${}d(x,x')=0$  und  ${}d(y,y')=0$.  Dann ist nach der Dreiecksabschätzung

   ${}d(x,y)\leq d(x,x')+d(x',y')+d(y',y)=d(x',y')\,$

   und ebenso  ${}d(x',y')\leq d(x,y)$,  also  ${}d(x',y')=d(x,y)$,  was die Wohldefiniertheit von ${}{\tilde {d}}$ bedeutet. Die Symmetrie, die Semipositivität und die Dreiecksabschätzung von ${}d$ übertragen sich direkt auf ${}{\tilde {d}}$. Aus  ${}{\tilde {d}}([x],[y])=0$  folgt direkt  ${}d(x,y)=0$,  also  ${}x\sim y$  und damit  ${}[x]=[y]$. 

3. Sei  ${}U\subseteq M/\sim$  offen und sei ${}V$ das Urbild davon. Sei  ${}x\in V$  ein Punkt. Nach Voraussetzung gibt es ein  ${}\epsilon >0$  mit  ${}U{\left([x],\epsilon \right)}\subseteq U$  in ${}M/\sim$. Daraus folgt direkt  ${}U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq V$,  da ${}U{\left(x,\epsilon \right)}$ das Urbild von ${}U{\left([x],\epsilon \right)}$ ist.
4. Dies ergibt sich, da äquivalente Punkte in ${}M$ die gleichen offenen Ballumgebungen besitzen.

Zur bewiesenen Aussage