Reelle Exponentialfunktion/Basis/Stetige Fortsetzung/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$

folgende Eigenschaften besitzt.

1. Es ist  ${}b^{x+x'}=b^{x}\cdot b^{x'}$  für alle  ${}x,x'\in \mathbb {R}$. 
2. Es ist  ${}b^{-x}={\frac {1}{b^{x}}}$. 
3. Für  ${}b>1$  und  ${}x>0$  ist  ${}b^{x}>1$. 
4. Für  ${}b<1$  und  ${}x>0$  ist  ${}b^{x}<1$. 
5. Für  ${}b>1$  ist ${}f$ streng wachsend.
6. Für  ${}b<1$  ist ${}f$ streng fallend.
7. Es ist  ${}(b^{x})^{x'}=b^{x\cdot x'}$  für alle  ${}x,x'\in \mathbb {R}$. 
8. Für  ${}a\in \mathbb {R} _{+}$  ist  ${}(ab)^{x}=a^{x}\cdot b^{x}$. 

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