Reelle Exponentialfunktion/Basis/Stetige Fortsetzung/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $b$ eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼b^x,$

folgende Eigenschaften besitzt.

1. Es ist  $b^{x+x^{\prime }}=b^x\cdot b^{x^{\prime }}$  für alle  $x,x^{\prime }\in ℝ$. 
2. Es ist  $b^{-x}=\frac{1}{b^x}$. 
3. Für  $b>1$  und  $x>0$  ist  $b^x>1$. 
4. Für  $b<1$  und  $x>0$  ist  $b^x<1$. 
5. Für  $b>1$  ist $f$ streng wachsend.
6. Für  $b<1$  ist $f$ streng fallend.
7. Es ist  $(b^x{)}^{x^{\prime }}=b^{x\cdot x^{\prime }}$  für alle  $x,x^{\prime }\in ℝ$. 
8. Für  $a\in {ℝ}_{+}$  ist  $(ab{)}^x=a^x\cdot b^x$. 

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