Angeordneter Körper/Intervalle/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Ein Körper heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung auf gibt, die die beiden Eigenschaften

  1. Aus folgt (für beliebige ),
  2. Aus und folgt (für beliebige ),

erfüllt.

Statt schreibt man auch . Die Schreibweise bedeutet und . Eine wichtige Beziehung in einem angeordneten Körper ist, dass äquivalent zu ist. Diese Äquivalenz ergibt sich durch beidseitiges Addieren von bzw. aus dem ersten Axiom. In einem angeordneten Körper nennt man ein Element positiv, wenn ist, und negativ,[1] wenn ist. Die ist demnach weder positiv noch negativ, und jedes Element ist entweder positiv oder negativ oder null. Die Elemente  mit nennt man dann einfach nichtnegativ und die Elemente  mit nichtpositiv. Für die entsprechenden Mengen schreibt man

oder Ähnliches. Die wichtigsten Beispiele für angeordnete Körper sind der Körper der rationalen Zahlen und der Körper der reellen Zahlen .



Lemma

In einem angeordneten Körper gelten die folgenden Eigenschaften.

  1. ,
  2. Aus und folgt ,
  3. Aus und folgt .

Beweis

Siehe Aufgabe.



Definition  

Sei ein angeordneter Körper. Zu , , nennt man

    • das abgeschlossene Intervall.
    • das offene Intervall.
    • das linksseitig offene Intervall.
    • das rechtsseitig offene Intervall.

    Für das offene Intervall wird häufig auch geschrieben. Die Zahlen und heißen die Grenzen des Intervalls, genauer spricht man von oberer und unterer Grenze. Die Bezeichnung linksseitig und rechtsseitig bei den beiden letzten Intervallen (die man auch als halboffen bezeichnet) rühren von der üblichen Repräsentierung der reellen Zahlen als Zahlengerade her, bei der rechts die positiven Zahlen stehen. Zutreffender (also weniger konventionsverhaftet) wäre es von „größerseitig offen“ und „kleinerseitig offen“ zu sprechen. Manchmal werden auch Schreibweisen wie verwendet. Dies bedeutet nicht, dass es in ein Element gibt, sondern ist lediglich eine kurze Schreibweise für .

    Bemerkung

    Ein äquivalenter Zugang zum Begriff des angeordneten Körpers funktioniert so: Man hat einen Körper , bei dem eine Teilmenge (die „positive Hälfte“) ausgezeichnet ist mit den folgenden Eigenschaften

    1. Entweder oder oder .
    2. Aus folgt .
    3. Aus folgt .

    In einem angeordneten Körper erfüllen die positiven Elemente diese Bedingungen. Man kann aber umgekehrt aus einem Körper mit einer solchen positiven Teilmenge einen angeordneten Körper machen, indem man

    definiert, siehe Aufgabe.

    Fußnoten
    1. Man beachte, dass hier negativ in einem neuen Sinn auftritt. In jedem Körper gibt zu jedem Element das negative Element , also das Inverse von bezüglich der Addition. Das Element ist aber nicht in einem absoluten Sinn negativ, sondern nur in Bezug auf . Dagegen gibt es in einem angeordneten Körper wirklich negative und positive Elemente.