Reelle Exponentialfunktion/Bijektiver Gruppenhomomorphismus/Fakt/Beweis

Beweis

Die Homomorphieeigenschaft folgt direkt aus der Funktionalgleichung, die Injektivität folgt aus der der Monotonieeigenschaft in Zusammenhang mit Fakt. Zum Nachweis der Surjektivität sei ${}y\in \mathbb {R} _{+}$ vorgegeben. Nach Fakt gibt es ganze Zahlen ${}n,m$ mit

${}b^{n}\leq y\leq b^{m}\,.$

Aufgrund des Zwischenwertsatzes, den wir wegen der in Fakt bewiesenen Stetigkeit der Exponentialfunktionen anwenden können, gibt es ein ${}x\in \mathbb {R}$ mit

${}b^{x}=y\,,$

was die Surjektivität bedeutet.

Zur bewiesenen Aussage