Sei
.
Wir zeigen zuerst die Stetigkeit im Nullpunkt. Da nach
Aufgabe
die Folge
,
,
gegen
konvergiert, und da die Exponentialfunktion wachsend ist, gibt es zu jedem positiven
ein positives
mit der Eigenschaft, dass aus
-
![{\displaystyle {}\vert {x}\vert \leq \delta \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19b79e43de7728aba6eb1a835ea2fd82a7e3c16f)
die Abschätzung
-
![{\displaystyle {}\vert {1-b^{x}}\vert \leq \epsilon \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/512efdfff16c8564e8db548ac0e90606e86b9125)
folgt. Es sei nun
beliebig und
vorgegeben. Wir betrachten ein
, das zu
-
![{\displaystyle {}\epsilon '={\frac {\epsilon }{b^{x}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97458081ae06d869177f8932a9b79a8743ab3f63)
die Stetigkeit im Nullpunkt sichert. Dann gilt unter Verwendung von
Fakt (1)
für
mit
-
![{\displaystyle {}\vert {x'-x}\vert \leq \delta \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7978ac2865135b7dcecaa39d2757a73fbc7db93e)
die Abschätzung
-
![{\displaystyle {}\vert {b^{x}-b^{x'}}\vert =\vert {b^{x}{\left(1-b^{x'-x}\right)}}\vert =\vert {b^{x}}\vert \cdot \vert {1-b^{x'-x}}\vert \leq b^{x}\cdot {\frac {\epsilon }{b^{x}}}=\epsilon \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5deac717f9d3756e5d500677a498adc90550c17)