Reelle Funktion/Extremum/Zweite Ableitung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beweisen die erste Aussage, die zweite kann man darauf zurückführen, indem man das Negative der Funktion betrachtet. Wegen der zweifachen stetigen Differenzierbarkeit und

${}f^{\prime \prime }(a)>0\,$

gibt es ein ${}\epsilon >0$ derart, dass die zweite Ableitung auf dem Intervall ${}[a-\epsilon ,a+\epsilon ]$ positiv ist. Nach Fakt ist dann ${}f'$ auf diesem Intervall streng wachsend. Wir behaupten, dass ${}f$ in ${}a$ ein isoliertes lokales Minimum besitzt, und zwar dass

${}f(x)>f(a)\,$

für alle ${}x\in [a-\epsilon ,a+\epsilon ]$, ${}x\neq a$, gilt. Nehmen wir an, dass dies nicht stimmt, und sei ${}x<a$ ein Element mit

${}f(x)\leq f(a)\,$

(das Argument bei ${}x>a$ verläuft genauso). Dann gibt es mit dem Mittelwertsatz ein ${}c$ mit

${}x<c<a\,$

und mit

${}f'(c)={\frac {f(a)-f(x)}{a-x}}\geq 0\,.$

Doch dies widerspricht wegen ${}f'(a)=0$ der strengen Monotonie der Ableitung.

Zur bewiesenen Aussage