Reelle Funktion/Lokales Extremum/Differenzierbar/Ableitung null/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können annehmen, dass ${}f$ ein lokales Maximum in ${}a$ besitzt. Es gibt also ein  ${}\epsilon >0$  mit  ${}f(x)\leq f(a)$  für alle  ${}x\in [a-\epsilon ,a+\epsilon ]$.  Es sei ${}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge mit  ${}a-\epsilon \leq s_{n}<a$,  die gegen ${}a$ („von unten“) konvergiere. Dann ist  ${}s_{n}-a<0$  und  ${}f(s_{n})-f(a)\leq 0$  und somit ist der Differenzenquotient

${}{\frac {f(s_{n})-f(a)}{s_{n}-a}}\geq 0\,,$

was sich dann nach Fakt auf den Limes, also den Differentialquotienten, überträgt. Also ist  ${}f'(a)\geq 0$.  Für eine Folge ${}{\left(t_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit  ${}a+\epsilon \geq t_{n}>a$  gilt andererseits

${}{\frac {f(t_{n})-f(a)}{t_{n}-a}}\leq 0\,.$

Daher ist auch  ${}f'(a)\leq 0$  und somit ist insgesamt  ${}f'(a)=0$. 

Zur bewiesenen Aussage