Reelle Gerade/Punkt verdoppelt/Gleiche Umgebungen/Aufgabe

Wir betrachten den topologischen Raum

${}X=\mathbb {R} \cup \{0'\}\,,$

der aus den reellen Zahlen entsteht, indem man ein neues Element ${}0'$ hinzunimmt, und die folgenden zwei Arten von Teilmengen für offen erklärt: Die Mengen  ${}U\subseteq \mathbb {R}$  offen mit  ${}0\notin U$  und die Mengen ${}V\cup \{0'\}$ für  ${}V\subseteq \mathbb {R}$  offen mit  ${}0\in V$.  Zeige, dass ${}X$ ein topologischer Raum ist. Ist der Punkt ${}0$ in diesem Raum abgeschlossen? Ist der Punkt ${}0'$ in diesem Raum abgeschlossen? Wie verhält sich dieser Raum zu dem in Aufgabe konstruierten Raum?

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