Reelle Matrix/2x2/Trigonalisierbarkeit über charakteristisches Polynom/Beispiel

Wir betrachten eine reelle ${}2\times 2$-Matrix ${}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$. Das charakteristische Polynom ist

${}{\begin{aligned}\chi _{M}&=\det {\left(xE_{2}-M\right)}\\&=\det {\begin{pmatrix}x-a&-b\\-c&x-d\end{pmatrix}}\\&=(x-a)(x-d)-bc\\&=x^{2}-(a+d)x+ad-bc\\&={\left(x-{\frac {a+d}{2}}\right)}^{2}-{\left({\frac {a+d}{2}}\right)}^{2}+ad-bc\\&={\left(x-{\frac {a+d}{2}}\right)}^{2}-{\left({\frac {a-d}{2}}\right)}^{2}-bc.\end{aligned}}$

Dieses Polynom zerfällt in (reelle) Linearfaktoren genau dann, wenn ${}{\left({\frac {a-d}{2}}\right)}^{2}+bc\geq 0$ ist. Genau in diesem Fall ist die Matrix nach Fakt trigonalisierbar.