Wir betrachten die
rationale Funktion
-
![{\displaystyle {}{\frac {1}{X^{3}-1}}={\frac {1}{(X-1){\left(X^{2}+X+1\right)}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a82223b22e7538b5b71cf0b4c9d5a814151f0cf)
wobei der Faktor rechts reell nicht weiter zerlegbar ist. Daher muss es eine eindeutige Darstellung
-
![{\displaystyle {}{\frac {1}{X^{3}-1}}={\frac {a}{X-1}}+{\frac {bX+c}{X^{2}+X+1}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b555c3db95530995f9b73b40f7cc204da440043e)
geben. Multiplikation mit dem Nennerpolynom führt auf
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}1&=a{\left(X^{2}+X+1\right)}+(bX+c)(X-1)\\&=(a+b)X^{2}+(a+c-b)X+a-c.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d6e6e7626266079fb41d75b1619e4a73a360c8e)
Koeffizientenvergleich führt auf das
inhomogene lineare Gleichungssystem
-
mit den eindeutigen Lösungen
-
Die
Partialbruchzerlegung
ist also
-
![{\displaystyle {}{\frac {1}{X^{3}-1}}={\frac {\frac {1}{3}}{X-1}}+{\frac {-{\frac {1}{3}}X-{\frac {2}{3}}}{X^{2}+X+1}}={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{X-1}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {X+2}{X^{2}+X+1}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1731f8734da1d17dcf0be77bb6f1502afea7729f)