Wir betrachten die rationale Funktion
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![{\displaystyle {}{\frac {X^{3}-X+5}{X^{4}+X^{2}}}={\frac {X^{3}-X+5}{X^{2}{\left(X^{2}+1\right)}}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9203a8208af554924e453030834dbd76c29bdbff)
wo die Faktorzerlegung des Nennerpolynoms sofort ersichtlich ist. Der Ansatz
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![{\displaystyle {}{\frac {X^{3}-X+5}{X^{2}{\left(X^{2}+1\right)}}}={\frac {a}{X}}+{\frac {b}{X^{2}}}+{\frac {cX+d}{X^{2}+1}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9c5d0fd9e693daccceed8ab2d18dbf48c3068ad)
führt durch Multiplikation mit dem Nennerpolynom auf
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}X^{3}-X+5&=aX{\left(X^{2}+1\right)}+b{\left(X^{2}+1\right)}+(cX+d)X^{2}\\&=aX^{3}+aX+bX^{2}+b+cX^{3}+dX^{2}\\&=(a+c)X^{3}+(b+d)X^{2}+aX+b.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f6daf7a9f3f48a813b9364fea02b14aff8c061c)
Koeffizientenvergleich führt auf das
inhomogene lineare Gleichungssystem
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mit der Lösung
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Insgesamt ist die
Partialbruchzerlegung
also gleich
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![{\displaystyle {}{\frac {X^{3}-X+5}{X^{2}(X^{2}+1)}}=-{\frac {1}{X}}+{\frac {5}{X^{2}}}+{\frac {2X-5}{X^{2}+1}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f893588b5e2bbe309bb1fa988d859669dac61d9)