Reelle Sinus und Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt ist

$\begin{array}{cc}{(\sin x)}^{\prime }& ={\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}\right)}^{\prime }\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(2n+1)\frac{x^{2n}}{(2n+1)!}\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\\ & =\cos x\end{array}$

und

$\begin{array}{cc}{(\cos x)}^{\prime }& ={\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}\right)}^{\prime }\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(2n)\frac{x^{2n-1}}{(2n)!}\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}\\ & =(-1)\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{(n-1)}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}\\ & =(-1)\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\\ & =-\sin x,\end{array}$

wobei wir im vorletzten Schritt  $k=n-1$ 

gesetzt haben.

Zur gelösten Aufgabe