Reelle Potenzreihe/Ableitung durch formale Ableitung/Fakt

Es sei

${}g(x):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\,$

eine Potenzreihe, die auf dem offenen Intervall ${}]-r,r[$ konvergiere und dort die Funktion ${}f\colon ]-r,r[\rightarrow \mathbb {R}$ darstellt.

Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe

${}{\tilde {g}}(x):=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}x^{n-1}\,$

auf ${}]-r,r[$ konvergent. Die Funktion ${}f$ ist in jedem Punkt dieses Intervalls differenzierbar mit

${}f'(x)={\tilde {g}}(x)\,.$

Einen Beweis erstellen