Reelle Potenzreihe/Ableitung durch formale Ableitung/Fakt

Es sei

$g(x):=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$

eine Potenzreihe, die auf dem offenen Intervall $]-r,r[$ konvergiere und dort die Funktion $f:]-r,r[\to ℝ$ darstellt.

Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe

$\tilde{g}(x):=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{a}_n{x}^{n-1}$

auf $]-r,r[$ konvergent. Die Funktion $f$ ist in jedem Punkt dieses Intervalls differenzierbar mit

$f^{\prime }(x)=\tilde{g}(x).$

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