Reelle Zahlen/Intervallschachtelung/Punkt/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $x_{n} \in I_{n} = [a_{n}, b_{n}]$ beliebig gewählt. Wir behaupten, dass dies eine Cauchy-Folge ist. Zu gegebenem $ϵ > 0$ sei $n_{0}$ derart, dass

b_{n_{0}} - a_{n_{0}} \leq ϵ .

Für $m \geq n \geq n_{0}$ ist dann

| x_{m} - x_{n} | \leq b_{n} - a_{n} \leq ϵ,

da ja $x_{m}, x_{n} \in I_{n}$ ist. Es sei $x$ der Limes dieser Cauchy-Folge. Wäre $x \notin I_{m}$ für ein $m$ , so wäre

x < a_{m}

(oder $x > b_{m}$ ), doch wegen der Konvergenz der Folge gegen $x$ würden dann auch die Folgenglieder für $n$ hinreichend groß echt unterhalb von $a_{m}$ und damit von $a_{n}$ liegen, im Widerspruch zu $x_{n} \in I_{n}$ . Also ist $x \in ⋂_{n \in ℕ} I_{n}$ . Würden zwei Zahlen $x < y$ zum Durchschnitt aller Intervalle gehören, so wäre

y - x \leq b_{n} - a_{n}

für alle $n$ im Widerspruch dazu, dass die Intervalllängen gegen $0$ konvergieren.

Zur bewiesenen Aussage