Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Archimedisch angeordneter Körper/Fakt/Beweis

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Beweis

Die in Fakt beschriebenen Alternativen hängen nach Aufgabe nur von der Äquivalenzklasse ab. Daher ergibt sich durch das Lemma eine Zerlegung (des Cauchy-Folgen-Modells) der reellen Zahlen in die , in positive und in negative Zahlen. Dabei sind die positiven Zahlen unter Addition und unter Multiplikation abgeschlossen, d.h. es liegt wegen Aufgabe ein angeordneter Körper vor. Sei ein gegeben, das durch eine rationale Cauchy-Folge repräsentiert werde. Nach Fakt ist die Folge beschränkt und es gibt insbesondere eine natürliche Zahl mit

für alle . Damit gilt auch für die Restklassen

was bedeutet, dass archimedisch angeordnet ist.