Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Körper/Fakt/Beweis

Beweis

Dass ein kommutativer Ring vorliegt, wurde schon in Fakt vermerkt. Wir müssen also noch zeigen, dass ein von $0$ verschiedenes Element $x \in ℝ$ ein inverses Element besitzt. Es sei ${(x_{n})}_{n \in ℕ} \in C$ eine Cauchy-Folge, die dieses $x$ repräsentiert. Diese Folge ist keine Nullfolge, da ja alle Nullfolgen unter der Restklassenabbildung auf das Nullelement abgebildet werden. Nach Fakt gilt somit eine der dort angegebenen Alternativen, d.h. es gibt ein $δ \in ℝ_{+}$ und ein $n_{0}$ mit der Eigenschaft, dass für $n \geq n_{0}$ alle Folgenglieder entweder oberhalb von $δ$ oder aber unterhalb von $- δ$ liegen. Betrachten wir den ersten Fall, wobei wir durch Abändern der ersten $n_{0}$ Folgenglieder, was die Äquivalenzklasse nicht ändert, annehmen können, dass alle Folgenglieder oberhalb von $δ$ liegen. Nach Fakt ist dann die durch

y_{n} = {(x_{n})}^{- 1}

gegebene inverse Folge ebenfalls eine Cauchy-Folge. Wegen

y_{n} x_{n} = 1

für alle $n \in ℕ$ ist auch

[{(y_{n})}_{n \in ℕ}] \cdot [{(x_{n})}_{n \in ℕ}] = [1] = 1,

und somit ist eine inverse Klasse gefunden.

Zur bewiesenen Aussage