Beweis
Wegen
der Eindeutigkeit der Wurzeln
stimmen zwei positive reellen Zahlen überein, sobald eine gewisse Potenz davon übereinstimmt. Damit kann man die Aussagen auf die Potenzgesetze mit ganzzahligen Exponenten zurückführen.
- Es ist unter Verwendung von
Fakt (4)
-
![{\displaystyle {}{\left({\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{b}}}\right)}^{mn}={\left({\left({\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{b}}}\right)}^{m}\right)}^{n}={\left({\sqrt[{n}]{b}}\right)}^{n}=b\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f6a70ebbbfeb11d2dcea7251a34844cca332ecb)
was auch herauskommt, wenn man von der rechten Seite die 
-te Potenz nimmt.
- Nach
Fakt (5)
ist
-
![{\displaystyle {}{\left({\sqrt[{m}]{a}}{\sqrt[{m}]{b}}\right)}^{m}={\left({\sqrt[{m}]{a}}\right)}^{m}{\left({\sqrt[{m}]{b}}\right)}^{m}=ab\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f8dc8f4357f4b6b60055cd507f6d9d05ff074eb)
was auch links herauskommt.
- Dies folgt aus Teil (2) mit
.
