Reelle Zahlen/Wurzeln/Algebraische Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Wegen der Eindeutigkeit der Wurzeln stimmen zwei positive reellen Zahlen überein, sobald eine gewisse Potenz davon übereinstimmt. Damit kann man die Aussagen auf die Potenzgesetze mit ganzzahligen Exponenten zurückführen.

1. Es ist unter Verwendung von Fakt  (4)

   ${\left(\sqrt[m]{\sqrt[n]{b}}\right)}^{mn}={\left({\left(\sqrt[m]{\sqrt[n]{b}}\right)}^m\right)}^n={\left(\sqrt[n]{b}\right)}^n=b,$

   was auch herauskommt, wenn man von der rechten Seite die $mn$-te Potenz nimmt.

2. Nach Fakt  (5) ist

   ${\left(\sqrt[m]{a}\sqrt[m]{b}\right)}^m={\left(\sqrt[m]{a}\right)}^m{\left(\sqrt[m]{b}\right)}^m=ab,$

   was auch links herauskommt.

3. Dies folgt aus Teil (2) mit  $a=b^{-1}$. 

Zur bewiesenen Aussage