Reelle Zahlen/kte Wurzeln aus reellen Zahlen/Über Zwischenwertsatz/Fakt/Beweis

Beweis

Die Stetigkeit ergibt sich aus Fakt. Das strenge Wachstum für ${}x\geq 0$ folgt aus der allgemeinen binomischen Formel. Für ungerades ${}n$ folgt das strenge Wachstum für ${}x<0$ aus der Beziehung ${}x^{n}=-(-x)^{n}$ und dem Verhalten im positiven Bereich. Daraus ergibt sich die Injektivität. Für ${}x\geq 1$ ist ${}x^{n}\geq x$, woraus die Unbeschränktheit des Bildes nach oben folgt. Bei ${}n$ ungerade folgt ebenso die Unbeschränktheit des Bildes nach unten. Aufgrund des Zwischenwertsatzes ist das Bild daher ${}\mathbb {R}$ bzw. ${}\mathbb {R} _{\geq 0}$. Somit sind die angegebenen Potenzfunktionen surjektiv und die Umkehrfunktionen existieren. Die Stetigkeit der Umkehrfunktionen folgt aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage