Reelle Zahlen/kte Wurzeln aus reellen Zahlen/Über Zwischenwertsatz/Fakt/Beweis

Beweis

Die Stetigkeit ergibt sich aus Fakt. Das strenge Wachstum für  $x\ge 0$  folgt aus der allgemeinen binomischen Formel. Für ungerades $n$ folgt das strenge Wachstum für  $x<0$  aus der Beziehung  $x^n=-(-x{)}^n$  und dem Verhalten im positiven Bereich. Daraus ergibt sich die Injektivität. Für  $x\ge 1$  ist  $x^n\ge x$,  woraus die Unbeschränktheit des Bildes nach oben folgt. Bei $n$ ungerade folgt ebenso die Unbeschränktheit des Bildes nach unten. Aufgrund des Zwischenwertsatzes ist das Bild daher $ℝ$ bzw. ${ℝ}_{\ge 0}$. Somit sind die angegebenen Potenzfunktionen surjektiv und die Umkehrfunktionen existieren. Die Stetigkeit der Umkehrfunktionen folgt aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage