Reeller Betrag/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Für eine reelle Zahl ist der Betrag folgendermaßen definiert.

Der Betrag ist also nie negativ und hat nur bei den Wert , sonst ist er immer positiv. Die Gesamtabbildung

nennt man auch Betragsfunktion. Der Funktionsgraph setzt sich aus zwei Halbgeraden zusammen; eine solche Funktion nennt man auch stückweise linear.



Lemma

Die reelle Betragsfunktion

erfüllt folgende Eigenschaften (dabei seien beliebige reelle Zahlen).

  1. Es ist .
  2. Es ist genau dann, wenn ist.
  3. Es ist genau dann, wenn oder ist.
  4. Es ist .
  5. Es ist .
  6. Für ist .
  7. Es ist (Dreiecksungleichung für den Betrag).
  8. Es ist .

Beweis

Siehe Aufgabe.