Reeller Vektorraum/Bijektiv/Orientierungstreu/Positive Determinante/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Wegen der Bijektivität von ${}\varphi$ bilden auch die Bilder

$\varphi (v_{1}),\ldots ,\varphi (v_{n})$

eine Basis von ${}V$. Es sei

${}\varphi (v_{j})=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}v_{i}\,,$

sodass

${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}\,$

die beschreibende Matrix der Abbildung bezüglich der Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ ist. Diese Matrix ist auch die Basiswechselmatrix ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {\varphi (v)}}$. Die Positivität der Determinante dieser Übergangsmatrix bedeutet nach Definition, dass die beiden Basen die gleiche Orientierung repräsentieren.

Zur bewiesenen Aussage