Reeller Vektorraum/Nach C/Totales Differential/Produktregel/Fakt/Beweis

Beweis

Wir schreiben ${}fg$ als Hintereinanderschaltung

$U{\stackrel {(f,g)}{\longrightarrow }}\mathbb {C} \times \mathbb {C} {\stackrel {\text{ Mult}}{\longrightarrow }}\mathbb {C} .$

Das totale Differential der vorderen Abbildung ist ${}(\left(Df\right)_{P},\left(Dg\right)_{P}$, das totale Differential der komplexen Multiplikation in einem Punkt ${}(z,w)$ ist die komplexe Linearform ${}(w,z)$. Nach der Kettenregel ist das totale Differential der Gesamtabbildung gleich ${}f(P)\left(Dg\right)_{P}+g(P)\left(Df\right)_{P}$.

Zur bewiesenen Aussage