Reeller Vektorraum/Nach C/Totales Differential/Produktregel/Fakt

Es sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Vektorraumes ${}V$ und es seien

$f,g\colon U\longrightarrow \mathbb {C}$

in einem Punkt ${}P\in U$ (reell) total differenzierbare Abbildungen.

Dann ist auch die Produktfunktion ${}fg$ (Multiplikation in ${}\mathbb {C}$) total differenzierbar, und es gilt

${}\left(Dfg\right)_{P}=f(P)\left(Dg\right)_{P}+g(P)\left(Df\right)_{P}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen