Totale Differenzierbarkeit/R/Kettenregel/Fakt

Die Kettenregel

Es seien ${}V,\,W$ und ${}U$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {R} }$-Vektorräume,  ${}G\subseteq V$  und  ${}D\subseteq W$  offene Mengen, und ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ und ${}\psi \colon D\rightarrow U$ Abbildungen derart, dass  ${}\varphi (G)\subseteq D$  gilt. Es sei weiter angenommen, dass ${}\varphi$ in  ${}P\in G$  und ${}\psi$ in  ${}\varphi (P)\in D$  total differenzierbar ist.

Dann ist ${}\psi \circ \varphi \colon G\rightarrow U$ in ${}P$ differenzierbar mit dem totalen Differential

${}\left(D(\psi \circ \varphi )\right)_{P}=\left(D\psi \right)_{\varphi (P)}\circ \left(D\varphi \right)_{P}\,.$

Beweis 1, 2, Alternativen Beweis erstellen