Reelles abgeschlossenes Intervall/Streng wachsend/Umkehrfunktion/Stetig/Fakt/Beweis

Beweis

Dass das Bild wieder ein Intervall ist folgt aus Fakt und aus Fakt.
Die Funktion ${}f$ ist injektiv, da sie streng wachsend ist und damit ist die Abbildung

$f\colon I\longrightarrow J$

auf das Bild bijektiv.
Die Umkehrfunktion

$f^{-1}\colon J\longrightarrow I$

ist ebenfalls streng wachsend.
Sei  ${}g:=f^{-1}$  und  ${}y:=f(x)$  vorgegeben. Es sei zunächst ${}y$ kein Randpunkt von ${}J$. Dann ist auch ${}x$ kein Randpunkt von ${}I$. Sei  ${}\epsilon >0$  vorgegeben und ohne Einschränkung  ${}[x-\epsilon ,x+\epsilon ]\subseteq I$  angenommen. Dann ist

${}\delta :={\min {\left(y-f(x-\epsilon ),f(x+\epsilon )-y\right)}}>0\,$

und für  ${}y'\in [y-\delta ,y+\delta ]$  gilt wegen der Monotonie

${}g(y')\in [g(y-\delta ),g(y+\delta )]\subseteq [x-\epsilon ,x+\epsilon ]\,.$

Also ist ${}g$ stetig in ${}y$. Wenn ${}y$ ein Randpunkt von ${}J$ ist, so ist auch ${}x$ ein Randpunkt von ${}I$, sagen wir der rechte Randpunkt. Dann ist zu vorgegebenem  ${}\epsilon >0$  wieder  ${}[x-\epsilon ,x]\subseteq I$  und  ${}\delta :=y-f(x-\epsilon )$  erfüllt die geforderte Eigenschaft.

Zur bewiesenen Aussage