Reflektion/Linearform/Teilungseigenschaft/Fakt/Beweis

Beweis

Für  ${}v\in H_{\sigma }$  ist

${}(f\sigma -f)(v)=f(\sigma v)-f(v)=f(v)-f(v)=0\,.$

Das Polynom ${}f\sigma -f$ verschwindet also auf der Nullstellenmenge von ${}L_{\sigma }$. Wir können ${}L_{\sigma }$ zu einer Variablenmenge ${}L_{\sigma },L_{2},\ldots ,L_{n}$ ergänzen und

${}f\sigma -f=P(L_{\sigma },L_{2},\ldots ,L_{n})L_{\sigma }+Q(L_{2},\ldots ,L_{n})\,$

schreiben. Das Polynom ${}Q$ verschwindet auf ${}H_{\sigma }$ und ist somit die Nullfunktion, also muss es gemäß Aufgabe auch das Nullpolynom sein, da der Körper unendlich ist.

Zur bewiesenen Aussage