Regulär berandetes ebenes Gebiet/Satz von Green/Fakt/Beweis

Beweis

Wir geben eine Beweisskizze. Da sowohl Wegintegrale als auch Integrale über ebenen Bereichen additiv im Vektorfeld bzw. in der Funktion sind und da partielles Ableiten ebenfalls additiv ist, kann man sich auf Vektorfelder der Form ${}F=(F_{1},0)$ bzw. ${}(0,F_{2})$ beschränken. Wir unterteilen den ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit einem Gitter derart, dass für die einzelnen Gitterrechtecke ${}Q$ gilt, dass ${}Q$ ganz in ${}T$ liegt oder aber ${}Q\cap T$ aus drei geraden Seiten und einer Berandung besteht, die man als den Graph einer stetig differenzierbaren Funktion in der gegenüberliegenden Seite realisieren kann. Das Integral zur Funktion über ${}T$ ist additiv bezüglich einer solchen Zerlegung. Der in ${}Q\cap T$ durchlaufene Rand stimmt natürlich nur in einer Seite mit einem Stück des Randes von ${}T$ überein. Wenn man aber die Wegintegrale über alle diese Teilstücke aufsummiert, so wird jede gerade Seite von ${}Q\cap T$, die nicht zum Rand von ${}T$ gehört, doppelt durchlaufen, und zwar einmal in die eine Richtung und einmal in die entgegengesetzte Richtung. Daher heben sich diese Teilwegintegrale weg und in der Summe bleibt das Wegintegral über den Rand von ${}T$ übrig. Wir gehen also davon aus, dass ${}T$ die Form

${}T={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid a\leq x\leq b,\,c\leq y\leq h(x)\right\}}\,$

mit einer stetig differenzierbaren Funktion

$h\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

mit ${}h(x)\geq c$ besitzt. Eine Parametrisierung des Randes wird dann durch die Wege ${}\gamma _{1}(t)=(a,c)+t(1,0)$ mit ${}t\in [0,b-a]$, ${}\gamma _{2}(t)=(b,c)+t(0,1)$ mit ${}t\in [0,h(b)-c]$ (wir parametrisieren also so, dass die Zeit immer bei ${}0$ anfängt), ${}\gamma _{3}(t)=(b,0)+(-t,h(b-t))$ mit ${}t\in [0,b-a]$ und schließlich ${}\gamma _{4}(t)=(a,h(a))+t(0,-1)$ mit ${}t\in [0,h(a)-c]$. Dabei ist für ${}F=(F_{1},0)$

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }F&=\int _{\gamma _{1}}F+\int _{\gamma _{2}}F+\int _{\gamma _{3}}F+\int _{\gamma _{4}}F\\&=\int _{0}^{b-a}F_{1}(a+t,c)dt+0+\int _{0}^{b-a}F_{1}(b-t,h(b-t))(-1)dt+0\\&=\int _{a}^{b}F_{1}(x,c)dx+\int _{b}^{a}F_{1}(x,h(x))dx\\&=\int _{a}^{b}F_{1}(x,c)-F_{1}(x,h(x))dx\\&=-\int _{a}^{b}\int _{c}^{h(x)}{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}dydx\\&=\int _{T}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}d\lambda ^{2}.\end{aligned}}$

Es sei nun ${}F=(0,F_{2})$ auf ${}T$ wie zuvor. Für die Abschnitte, auf denen ${}h$ streng wachsend oder streng fallend ist, kann man durch eine feinere Gitterunterteilung den Graphen auch abhängig von ${}y$ realisieren. Dabei entsteht eine Situation, die analog zu der schon behandelten Situation ist (wobei sich die Rollen von ${}x$ und ${}y$ und die Komponenten des Vektorfeldes vertauschen). Auf einem Abschnitt, auf dem ${}h$ konstant ist (sagen wir gleich ${}d$), ergibt sich die Behauptung unter Verwendung des Satzes von Fubini aus

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }F&=\int _{\gamma _{1}}F+\int _{\gamma _{2}}F+\int _{\gamma _{3}}F+\int _{\gamma _{4}}F\\&=0+\int _{0}^{d-c}F_{2}(b,c+t)dt+0+\int _{0}^{d-c}F_{2}(a,d-t)(-1)dt\\&=\int _{c}^{d}F_{2}(b,y)dy+\int _{d}^{c}F_{2}(a,y)dy\\&=\int _{c}^{d}F_{2}(b,y)-F_{2}(a,y)dy\\&=\int _{c}^{d}\int _{a}^{b}{\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}dxdy\\&=\int _{a}^{b}\int _{c}^{d}{\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}dydx\\&=\int _{T}{\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}d\lambda ^{2}.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage