Volumenberechnung/R^n/Kompakt/Endliche Überpflasterung/Einführung/Textabschnitt

Ein $n$-dimensionaler (achsenparalleler) Quader

$Q=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times \cdots \times [a_n,b_n]\subseteq {ℝ}^n$

hat nach Definition das $n$-dimensionale Volumen

${\lambda }^n(Q)=(b_1-a_1)(b_2-a_2)\cdots (b_n-a_n).$

Bei  $n=1$  handelt es sich um die Streckenlänge, bei  $n=2$  um den Flächeninhalt eines Rechtecks, bei  $n=3$  um das Volumen eines Quaders. Im Rahmen der Maßtheorie versucht man „möglichst vielen“ Teilmengen  $T\subseteq {ℝ}^n$  ein sinnvolles Volumen (ein Maß), geschrieben

${\lambda }^n(T),$

zuzuordnen. Dies ist eine recht aufwändige Theorie, von der wir hier nur einige Prinzipien, Ergebnisse und Berechnungsansätze vorstellen können. Wir beschränken uns auf kompakte, also abgeschlossene und beschränkte Teilmengen des ${ℝ}^n$ (diese stellen wir uns als einen „starren Körper“ vor). Für den Subgraphen zu einer Funktion, also die Menge (die in der Tat beschränkt und abgeschlossen ist)

$\{(x,y)\mid 0\le y\le f(x),a\le x\le b\}$

zu einer stetigen Funktion

$f:[a,b]⟶{ℝ}_{\ge 0}$

haben wir schon verwendet, dass der Flächeninhalt durch das bestimmte Integral der Funktion berechnet werden kann. Integration ist das wichtigste Hilfsmittel zur numerischen Bestimmung von allgemeinen Volumina.

Wir besprechen nun einige wichtige Prinzipien von Volumina.

Überpflasterungseigenschaften

Integrierbare Funktionen hatten wir über Ober- und Untersummen eingeführt. Für eine beliebige (kompakte) Teilmenge $T$ kann man das Volumen ebenfalls über Obersummen berechnen, wobei man Überpflasterungen von $T$ mit einer Familie von (achsenparallelen) Quadern $Q_i$, $i\in I$, betrachtet.

Definition

Es sei  $T\subseteq {ℝ}^n$  eine Teilmenge. Eine Familie von (achsenparallelen) Quadern $Q_i$, $i\in I$, mit  $T\subseteq \bigcup _{i\in I}{Q}_i$  nennt man eine Quader-Überpflasterung von $T$.

Zu einer endlichen Überpflasterung (bei der also die Indexmenge $I$ endlich ist) nennt man die Summe $\sum _{i\in I}{\lambda }^n(Q_i)$ die Quadersumme (oder Quadervolumensumme oder Gesamtvolumensumme) der Überpflasterung. Eine wichtige Charakterisierung des Volumens einer kompakten Teilmenge ist, dass sie gleich dem Infimum über alle Quadersummen von Überpflasterungen ist.

Satz

Es sei  $T\subseteq {ℝ}^n$  eine kompakte Teilmenge.

Dann ist das $n$-dimensionale Volumen von $T$ gleich dem Infimum über die Volumensumme aller endlichen Quader-Überpflasterungen $Q_i$, $i\in I$, von $T$, also

${\lambda }^n(T)=\inf \{\sum _{i\in I}{\lambda }^n(Q_i)\mid T\subseteq \bigcup _{i\in I}{Q}_i\}.$

Man könnte insbesondere die rechte Seite, also das Infimum über die Quadervolumensummen von Überpflasterungen, als Definition des Volumens ansetzen. Die Aussage gilt auch, wenn man mit beliebigen Quadern statt nur mit achsenparallelen Quadern arbeitet. Die Infimumseigenschaft bedeutet insbesondere, dass es zu jedem  $ϵ>0$  eine Überpflasterung $Q_i$, $i\in I$, mit

$\sum _{i\in I}{\lambda }^n(Q_i)-ϵ\le {\lambda }^n(T)\le \sum _{i\in I}{\lambda }^n(Q_i)$

gibt, das wahre Volumen wird also beliebig genau durch Quadervolumensummen approximiert.

Wir erwähnen einige weitere wichtige Eigenschaften des Volumens. Diese Eigenschaften werden natürlich von einer sinnvollen Volumentheorie erwartet, ihr Nachweis kann aber im Einzelnen schwierig sein.

Lemma

1. Für kompakte Teilmengen $T_1$ und $T_2$ in ${ℝ}^n$ mit  $T_1\subseteq T_2$  ist

   ${\lambda }^n(T_1)\le {\lambda }^n(T_2).$

2. Für kompakte Teilmengen $T_i$ ($I$ endlich) ist

   ${\lambda }^n(\bigcup _{i\in I}{T}_i)\le \sum _{i\in I}{\lambda }^n(T_i).$

3. Für  $T\subseteq \bigcup _{i\in I}{T}_i$  mit kompakten Teilmengen $T,T_i$ ($I$ endlich) ist

   ${\lambda }^n(T)\le \sum _{i\in I}{\lambda }^n(T_i).$

Beweis

Wir argumentieren über die Überpflasterungseigenschaft im Sinne von Fakt. Die Eigenschaft (1) ist klar, da eine Quaderüberpflasterung der größeren Menge insbesondere eine Überpflasterung der kleineren Menge ist.

Zum Beweis von (2) können wir uns auf zwei kompakte Teilmengen $S$ und $T$ beschränken. Nehmen wir an, dass die Aussage nicht stimmt, sei also

${\lambda }^n(S\cup T)>{\lambda }^n(S)+{\lambda }^n(T).$

Es sei  $ϵ>0$  die Differenz. Wir können das Volumen von $S$ durch eine Quaderüberpflasterung $Q_i$, $i\in I$, bis auf einen Fehler $\le \frac{ϵ}{3}$ und ebenso das Volumen von $T$ durch eine Quaderüberpflasterung $P_j$, $j\in J$, bis auf einen Fehler $\le \frac{ϵ}{3}$ approximieren. Die Vereinigung der beiden Quaderüberpflasterungen ist eine Quaderüberpflasterung von $S\cup T$ mit einem Fehler von maximal $\frac{2ϵ}{3}$. Das ergibt einen Widerspruch.

(3) folgt direkt aus (1) und (2).

$◻$

Lemma

Es seien $T_1$ und $T_2$ disjunkte kompakte Teilmengen im ${ℝ}^n$.

Dann ist

${\lambda }^n(T_1\cup T_2)={\lambda }^n(T_1)+{\lambda }^n(T_2).$

Beweis

Die Abschätzung $\le$ folgt aus Fakt  (2).

Für die andere Abschätzung sei eine Überpflasterung von $T_1\cup T_2$ gegeben. Aufgrund der Disjunktheit und der Kompaktheit gibt es einen positiven Abstand zwischen den beiden Mengen, d.h. es gibt ein  $ϵ>0$  derart, dass  $d(P_1,P_2)>ϵ$  für alle $P_1\in T_1$ , $P_2\in T_2$, ist. Einen Quader aus der Überpflasterung, der beide Teilmengen schneidet, kann man dann in endlich viele Quader unterteilen, sodass diese zu (mindestens) einer der beiden Mengen disjunkt sind. So erreicht man eine Verfeinerung der Überpflasterung mit der gleichen Quadervolumensumme, deren Quader jeweils nur eine Teilmenge treffen. Daher ist die Volumensumme dieser Überpflasterung gleich der Summe der Volumensumme der beiden Teilüberpflasterungen und damit mindestens so groß wie ${\lambda }^n\left(T_1\right)+{\lambda }^n\left(T_2\right)$.

$◻$

Lemma

Es seien $T_1\subseteq {ℝ}^n$ und $T_2\subseteq {ℝ}^m$ kompakte Teilmengen.

Dann gilt für die Produktmenge  $T_1\times T_2\subseteq {ℝ}^n\times {ℝ}^m={ℝ}^{n+m}$  die Beziehung

${\lambda }^{n+m}(T_1\times T_2)={\lambda }^n(T_1)\cdot {\lambda }^m(T_2).$

Eine typische Produktmenge ist ein Zylinder, also das Produkt aus einer Grundmenge  $B\subseteq {ℝ}^n$  und einer Stecke, also einem Intervall  $I\subseteq ℝ$.  Sein Volumen ist das Produkt aus dem Volumen der Grundmenge und der Streckenlänge.

Lemma

Es sei  $V\subset {ℝ}^n$  ein Untervektorraum der Dimension  $k<n$  und  $T\subseteq V$  eine kompakte Teilmenge

Dann ist  ${\lambda }^n(T)=0$. 

Man beachte, dass dies eine Aussage über das $n$-dimensionale Volumen ist, nicht über das $k$-dimensionale Volumen als Teilmenge in  $V\cong {ℝ}^k$.  Insbesondere besitzen einzelne Punkte im ${ℝ}^n$, $n\ge 1$, das Volumen $0$. Da sich jede Teilmenge aus seinen Einzelpunkten zusammensetzt, kann die obige Vereinigungsregel nicht für beliebige Vereinigungen gelten, d.h. die Gleichungskette

${\lambda }^n(T)={\lambda }^n(\bigcup _{P\in T}\{P\})=\sum _{P\in T}{\lambda }^n(\{P\})=\sum _{P\in T}0=0$

ist falsch (andernfalls hätte jede Teilmenge das Volumen $0$). Teilmengen, deren Volumen $0$ ist, nennt man Nullmenge.