Volumenberechnung/R^n/Kompakt/Endliche Überpflasterung/Einführung/Textabschnitt

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Ein -dimensionaler (achsenparalleler)

Quader

hat nach Definition das -dimensionale Volumen

Bei handelt es sich um die Streckenlänge, bei um den Flächeninhalt eines Rechtecks, bei um das Volumen eines Quaders. Im Rahmen der Maßtheorie versucht man „möglichst vielen“ Teilmengen ein sinnvolles Volumen, geschrieben

zuzuordnen. Dies ist eine recht aufwändige Theorie, von der wir hier nur einige Prinzipien, Ergebnisse und Berechnungsansätze vorstellen können. Wir beschränken uns auf

kompakte, also abgeschlossene und beschränkte Teilmengen des (diese stellen wir uns als einen „starren Körper“ vor). Für den Subgraphen zu einer Funktion, also die Menge (die in der Tat beschränkt und abgeschlossen ist)

zu einer stetigen Funktion

haben wir schon verwendet, dass der Flächeninhalt durch das bestimmte Integral der Funktion berechnet werden kann. Integration ist das wichtigste Hilfsmittel zur numerischen Bestimmung von allgemeinen Volumina.

Wir besprechen nun einige wichtige Prinzipien von Volumina.



Überpflasterungseigenschaften

Integrierbare Funktionen hatten wir über Ober- und Untersummen eingeführt. Für eine beliebige (kompakte) Teilmenge kann man das Volumen ebenfalls über Obersummen berechnen, wobei man Überpflasterungen von mit einer Familie von (achsenparallelen) Quadern , , betrachtet.


Definition  

Es sei eine Teilmenge. Eine Familie von (achsenparallelen) Quadern , , mit nennt man eine Quader-Überpflasterung von .

Zu einer endlichen Überpflasterung (bei der also die Indexmenge endlich ist) nennt man die Summe die Quadersumme (oder Quadervolumensumme oder Gesamtvolumensumme) der Überpflasterung. Eine wichtige Charakterisierung des Volumens einer kompakten Teilmenge ist, dass sie gleich dem Infimum über alle Quadersummen von Überpflasterungen ist.


Satz

Es sei eine kompakte Teilmenge.

Dann ist das -dimensionale Volumen von gleich dem Infimum über die Volumensumme aller endlichen Quader-Überpflasterungen , , von , also

Man könnte insbesondere die rechte Seite, also das Infimum über die Quadervolumensummen von Überpflasterungen, als Definition des Volumens ansetzen. Die Aussage gilt auch, wenn man mit beliebigen Quadern statt nur mit achsenparallelen Quadern arbeitet.

Bemerkung  

Eine abgeschlossene, aber nicht beschränkte Teilmenge wird nicht durch endlich viele Quader überpflastert. Diese Mengen haben aber dennoch ein sinnvolles Volumen (das unendlich sein kann) und es gilt auch eine entsprechende Aussage zu Fakt, wobei man allerdings als Indexmenge die natürlichen Zahlen zulassen muss. Zu einer Überpflasterung muss man als Reihe von nichtnegativen Zahlen interpretieren. Da wir uns für das Infimum interessieren, sind hierbei nur die konvergenten Reihen relevant (wenn es keine Überpflasterung mit endlicher Volumensumme gibt, so besitzt die Teilmenge das Volumen ). Diese Betrachtung ist beispielsweise dann nötig, wenn man uneigentliche Integrale als Flächeninhalt eines (unbeschränkten) Subgraphen verstehen möchte.


Wir erwähnen einige weitere wichtige Eigenschaften des Volumens. Diese Eigenschaften werden natürlich von einer sinnvollen Volumentheorie erwartet, ihr Nachweis kann aber im einzelnen schwierig sein.



Lemma  

  1. Für kompakte Teilmengen und in mit ist
  2. Für mit kompakten Teilmengen ( endlich) ist

Beweis  

Wir argumentieren über die Überpflasterungseigenschaft im Sinne von Fakt. Die Eigenschaft (1) ist klar, da eine Quaderüberpflasterung der größeren Menge insbesondere eine Überpflasterung der kleineren Menge ist.

Zum Beweis von (2) können wir uns auf zwei kompakte Teilmengen und beschränken. Wenn , , eine endliche Überpflasterung von und , , eine endliche Überpflasterung von ist, so ist deren Vereinigung eine Überpflasterung von . Daher ist das Volumen von maximal gleich der Summe.




Lemma  

Es seien und disjunkte kompakte Teilmengen im .

Dann ist

Beweis  

Die Abschätzung folgt aus Fakt  (2).

Für die andere Abschätzung sei eine Überpflasterung von gegeben. Aufgrund der Disjunktheit und der Kompaktheit gibt es einen positiven Abstand zwischen den beiden Mengen, d.h. es gibt ein derart, dass ist für alle , . Einen Quader aus der Überpflasterung, der beide Teilmengen schneidet, kann man dann in endlich viele Quader unterteilen, so dass diese zu (mindestens) einer der beiden Mengen disjunkt sind. So erreicht man eine Verfeinerung der Überpflasterung mit der gleichen Quadervolumensumme, deren Quader nur eine Teilmenge treffen. Daher ist die Volumensumme dieser Überpflasterung gleich der Summe der Volumensumme der beiden Teilüberpflasterungen und damit mindestens so groß wie .



Lemma

Es seien und kompakte Teilmengen.

Dann gilt für die Produktmenge die Beziehung

Eine typische Produktmenge ist ein Zylinder, also das Produkt aus einer Grundmenge und einer Stecke, also einem Intervall . Sein Volumen ist das Produkt aus dem Volumen der Grundmenge und der Streckenlänge.


Lemma

Es sei ein Untervektorraum der Dimension und eine kompakte Teilmenge

Dann ist .

Man beachte, dass dies eine Aussage über das -dimensionale Volumen ist, nicht über das -dimensionale Volumen als Teilmenge in . Insbesondere besitzen einzelne Punkte im , , das Volumen . Da sich jede Teilmenge aus seinen Einzelpunkten zusammensetzt, kann die obige Vereinigungsregel nicht für beliebige Vereinigungen gelten, d.h. die Gleichungskette

ist falsch (andernfalls hätte jede Teilmenge das Volumen ). Teilmengen, deren Volumen ist, nennt man Nullmenge.