Regulär berandetes ebenes Gebiet/Satz von Green/Versionen für Schwerpunkt/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beweisen die Aussage für die ${}x$ -Koordinate des Schwerpunktes unter Verwendung von Fakt. Für das Vektorfeld ${}F(x,y)=(xy,0)$ ist

{}{\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}=-x\,

und daher ist

{}x_{S}={\frac {1}{m}}\int _{T}xd\lambda ^{2}=-{\frac {1}{m}}\int _{T}{\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}d\lambda ^{2}=-{\frac {1}{m}}\int _{R}(xy,0)\,.

Für das Vektorfeld ${}G(x,y)=(0,x^{2})$ ist

{}{\frac {\partial G_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial G_{1}}{\partial y}}=2x\,

und daher ist

{}x_{S}={\frac {1}{m}}\int _{T}xd\lambda ^{2}={\frac {1}{2m}}\int _{T}{\frac {\partial G_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial G_{1}}{\partial y}}\lambda ^{2}={\frac {1}{2m}}\int _{R}(0,x^{2})\,.