Reine Körpererweiterung/Q(dritte Wurzel a), a prim/Keine Galoiserweiterung/Aufgabe/Lösung

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Nach dem Lemma von Eisenstein (angewendet mit der Primzahl ) ist das Polynom irreduzibel über , und daher ist
eine Körpererweiterung vom Grad . Wir zeigen, dass diese Körpererweiterung nicht normal ist, woraus nach Fakt folgt, dass sie keine Galoiserweiterung ist. Nehmen wir an, dass normal ist. Das Polynom besitzt in die Restklasse von als Nullstelle. Wegen der Normalität muss das Polynom über vollständig in Linearfaktoren zerfallen, d.h. die anderen Nullstellen (aus ) des Polynoms müssen ebenfalls zu gehören. Die anderen Nullstellen sind mit einer dritten Einheitswurzel . Aus folgt aber sofort, dass ist, d.h. enthält die dritten Einheitswurzeln. Die dritten Einheitswurzeln erzeugen eine Körpererweiterung vom Grad über . Daher widerspricht die Inklusion der Gradformel.
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