Reine kubische Erweiterung/Diskriminante/Fakt/Beweis

Beweis

Wir setzen ${}x={\sqrt[{3}]{ab^{2}}}$ und ${}y={\sqrt[{3}]{a^{2}b}}$. Nach Fakt ist der Ganzheitsring gleich ${}\mathbb {Z} [x,y]$ und ${}1,x,y$ ist eine Ganzheitsbasis, ferner ist ${}y=x^{2}/b$. Wir berechnen zuerst die Diskriminante zu ${}1,x,x^{2}$. Dabei ist ${}x^{3}=ab^{2}$ und ${}x^{4}=ab^{2}x$. Die Spur von ${}x$ und von ${}x^{2}$ ist gleich ${}0$, daher ist

${}\triangle (1,x,x^{2})=\det {\begin{pmatrix}3&0&0\\0&0&3ab^{2}\\0&3ab^{2}&0\end{pmatrix}}=-27a^{2}b^{4}\,.$

Die Übergangsmatrix zwischen ${}1,x,x^{2}$ und ${}1,x,y$ hat die Determinante ${}1/b$, daher ist die Diskriminante des Zahlbereiches nach Fakt gleich ${}-27a^{2}b^{2}$.

Im zweiten Fall bleibt die bisherige Rechnung gültig, doch ist jetzt ${}{\frac {1}{3}}(1+ax+by),x,y$ eine Ganzheitsbasis. Die Übergangsmatrix zwischen den Basen ${}1,x,y$ und ${}z,x,y$ ist

${\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}&{\frac {a}{3}}&{\frac {b}{3}}\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

mit der Determinante ${}{\frac {1}{3}}$. Dies ergibt den Faktor ${}{\frac {1}{9}}$.

Zur bewiesenen Aussage