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Reine kubische Gleichung/Zusätzliches Element/Ganzheitsbasis mit 1/Aufgabe/Lösung

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Es ist nach Fakt  (4) eine Ganzheitsbasis. Aus ergibt sich

Zwischen der Basis und der gesuchten Basis besteht jedenfalls die Beziehung

wobei zu bestimmen sind (dies ist ein Gleichungssystem zwischen Vektortupeln, als Matrixgleichung geschrieben). Damit die linke Seite wieder eine Basis wird, muss die Determinante der Matrix gleich sein. Wenn wir den Ansatz machen, so muss

und dafür gibt es eine Lösung, da und teilerfremd sind. Es ist also , und eine Ganzheitsbasis.

Damit gilt dann umgekehrt

und