Es ist
nach
Fakt (4)
eine Ganzheitsbasis. Aus
ergibt sich
-
![{\displaystyle {}1=-ax-by+3z\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f63197300e6291183b46603a403e3a326452d9dc)
Zwischen der Basis
und der gesuchten Basis
besteht jedenfalls die Beziehung
-
![{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\w\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-a&-b&3\\r&s&t\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9496524b0be4827d3946e23c0ccf1499b0623262)
wobei
zu bestimmen sind
(dies ist ein Gleichungssystem zwischen Vektortupeln, als Matrixgleichung geschrieben).
Damit die linke Seite wieder eine Basis wird, muss die Determinante der Matrix gleich
sein. Wenn wir den Ansatz
machen, so muss
-
![{\displaystyle {}-as+rb=\pm 1\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8136986a4732e442befab54616439da144fa0c8e)
und dafür gibt es eine Lösung, da
und
teilerfremd sind. Es ist also
,
und
eine Ganzheitsbasis.
Damit gilt dann umgekehrt
-
![{\displaystyle {}x=bw-3sz+s\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d4bdddfd8f03e9e70f8ea3ae1b1bf245c7917bd)
und
-
![{\displaystyle {}y=-aw+3rz-r\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3acd8c8ae32e3ca9b59cae7b1f8824dc5a3dea17)