Reine kubische Gleichung/Zusätzliches Element/Ganzheitsbasis mit 1/Aufgabe/Lösung

Es ist ${}x,y=x^{2}/b,z$ nach Fakt  (4) eine Ganzheitsbasis. Aus ${}3z=1+ax+by$ ergibt sich

${}1=-ax-by+3z\,.$

Zwischen der Basis ${}x,y,z$ und der gesuchten Basis ${}1,w,z$ besteht jedenfalls die Beziehung

${}{\begin{pmatrix}1\\w\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-a&-b&3\\r&s&t\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,,$

wobei ${}r,s,t$ zu bestimmen sind (dies ist ein Gleichungssystem zwischen Vektortupeln, als Matrixgleichung geschrieben). Damit die linke Seite wieder eine Basis wird, muss die Determinante der Matrix gleich ${}\pm 1$ sein. Wenn wir den Ansatz ${}t=0$ machen, so muss

${}-as+rb=\pm 1\,,$

und dafür gibt es eine Lösung, da ${}a$ und ${}b$ teilerfremd sind. Es ist also ${}1$, ${}w=rx+sy$ und ${}z$ eine Ganzheitsbasis.

Damit gilt dann umgekehrt

${}x=bw-3sz+s\,$

und

${}y=-aw+3rz-r\,.$

Zur gelösten Aufgabe