Residuum/Sinus/Invers/Aufgabe/Lösung

1. Nach Aufgabe ist das Residuum von ${}\sin \left({\frac {1}{z}}\right)$ gleich ${}1$.
2. Wegen

   ${}\sin z=z-{\frac {1}{6}}z^{3}+\ldots \,$

   ist

   ${}{\frac {\sin z}{z}}=1-{\frac {1}{6}}z^{2}+\ldots \,,$

   diese Funktion ist insbesondere holomorph. Daher ist

   ${}{\frac {z}{\sin z}}=1+{\text{höhere Terme}}\,$

   und somit

   ${}{\frac {1}{\sin z}}={\frac {1}{z}}+{\text{ holomorphe Funktion }}\,.$

   Also ist das Residuum von ${}{\frac {1}{\sin z}}$ ebenfalls gleich ${}1$.

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