Es sei ein Gebiet, und eine Abbildung bis auf isolierte Singularität holomorph, d.h. ist holomorph. Ist eine isolierte Singularität von mit , so definiert man das Residuum als:
.
Zusammenhang Residuum und Laurententwicklung[Bearbeiten]
Stellt man um eine isolierte Singularität als Laurentreihe dar, so kann man das Residuum wie folgt berechnen.
Mit als Laurent-Entwicklung von um gilt:
.
Dabei ist zu berücksichtigen, dass die abgeschlossene Kreisscheibe nur die eine Singularität enthält, d.h. .
Damit kann man das Residuum aus der Laurentwicklung
von um an -1-ten Koeffizienten ablesen.
Ist ein Pol der Ordnung von , so hat die Laurent-Entwicklung von um die Form
mit .
Beweis 1: Hauptteil entfernen durch Multiplikation[Bearbeiten]
Multiplizieren wir mit , so erhalten wir
Das Residuum ist nun als Koeffizienten von in der Potenzreihe der Funktion zu finden.
Beweis 2: Anwendung der (m-1)-fachen Differentiation[Bearbeiten]
Durch -faches Differenzieren verschwinden die ersten Summanden der Reihe vom Exponent bis zum Exponenten . Damit ist das Residuum zusammen mit den durch die Ableitung entstandenen Vorfaktoren direkt nun der Kooeffizient vor und man erhält:
Beweis 3: Grenzwertprozess und Berechnung des Koeffizienten vor [Bearbeiten]
Durch Indexverschiebung erhält man:
Durch einen Grenzwertprozess verschwinden alle Summanden mit und man erhält:
Insgesamt lässt sich damit das Residuum durch folgenden Grenzwert berechnen:
Erläutern Sie, warum bei der Integration über die Laurententwicklung alle Summanden aus dem Nebenteil und alle Summanden mit dem Index mit bei der Integration das Integral
ergeben.
Warum darf man bei der Integration und der Reihenentwicklung die Grenzwertprozesse vertauschen?
Gegeben sei die Funktion mit . Berechnen Sie das Residuum mit !