Restklassenring (Z)/Einheit/Charakterisierung/Teilerfremd/Fakt/Beweis

Beweis

Sind ${}a$ und ${}n$ teilerfremd, so gibt es nach Fakt eine Darstellung der ${}1$, es gibt also ganze Zahlen ${}r,s$ mit

${}ra+sn=1\,.$

Betrachtet man diese Gleichung modulo ${}n$, so ergibt sich  ${}ra=1$  in ${}\mathbb {Z} /(n)$. Damit ist ${}a$ eine Einheit mit dem inversen Element  ${}a^{-1}=r$. 

Ist umgekehrt ${}a$ eine Einheit in ${}\mathbb {Z} /(n)$, so gibt es ein  ${}r\in \mathbb {Z} /(n)$  mit  ${}ar=1$  in ${}\mathbb {Z} /(n)$. Das bedeutet aber, dass ${}ar-1$ ein Vielfaches von ${}n$ ist, sodass also

${}ar-1=sn\,$

gilt. Dann ist aber wieder  ${}ar-sn=1$  und ${}a$ und ${}n$ sind teilerfremd.

Zur bewiesenen Aussage