Restklassenring (Z)/Einheit/Charakterisierung/Teilerfremd/Fakt mit Beweisklappe
Satz[Bearbeiten]
Genau dann ist eine Einheit modulo (d.h. repräsentiert eine Einheit in ), wenn und teilerfremd sind.
Beweis
Sind und teilerfremd, so gibt es nach Fakt eine Darstellung der , es gibt also ganze Zahlen mit
Betrachtet man diese Gleichung modulo , so ergibt sich in . Damit ist eine Einheit mit Inversem .
Ist umgekehrt eine Einheit in , so gibt es ein mit in . Das bedeutet aber, dass ein Vielfaches von ist, so dass also
gilt. Dann ist aber wieder und und sind teilerfremd.