Restklassenringe (Z)/Chinesischer Restsatz/Fakt/Beweis

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Beweis

Da die Ringe links und rechts beide endlich sind und die gleiche Anzahl von Elementen haben, nämlich , genügt es, die Injektivität zu zeigen. Sei eine natürliche Zahl, die im Produktring (rechts) zu wird, also modulo den Rest hat für alle . Dann ist ein Vielfaches von für alle , d.h. in der Primfaktorzerlegung von muss zumindest mit den Exponenten vorkommen. Also muss nach Fakt ein Vielfaches des Produktes sein, also ein Vielfaches von . Damit ist in und die Abbildung ist injektiv.

Zur bewiesenen Aussage