Restklassenringe (Z)/Chinesischer Restsatz/Fakt/Beweis

Beweis

Da die Ringe links und rechts beide endlich sind und die gleiche Anzahl von Elementen haben, nämlich ${}n$, genügt es, die Injektivität zu zeigen. Es sei ${}x$ eine natürliche Zahl, die im Produktring (rechts) zu ${}0$ wird, also modulo ${}p_{i}^{r_{i}}$ den Rest ${}0$ hat für alle ${}i=1,2,\ldots ,k$. Dann ist ${}x$ ein Vielfaches von ${}p_{i}^{r_{i}}$ für alle ${}i=1,2,\ldots ,k$, d.h. in der Primfaktorzerlegung von ${}x$ muss ${}p_{i}$ zumindest mit dem Exponenten ${}r_{i}$ vorkommen. Also muss ${}x$ nach Fakt ein Vielfaches des Produktes sein, also ein Vielfaches von ${}n$. Damit ist ${}x=0$ in ${}\mathbb {Z} /(n)$ und die Abbildung ist injektiv.

Zur bewiesenen Aussage