Restklassenringe (Z)/Quadratreste/-1/Fakt mit Beweisklappe

Satz

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Dann gelten folgende Aussagen.

Für ${}p=2$ ist ${}-1=1$ ein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(2)$.

Für ${}p=1\!\!\!\!\mod 4$ ist ${}-1$ ein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(p)$.

Für ${}p=3\!\!\!\!\mod 4$ ist ${}-1$ kein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(p)$.

Beweis

Die erste Aussage ist klar, sei also ${}p$ ungerade. Nach Fakt ist die Einheitengruppe zyklisch der geraden Ordnung ${}p-1$. Identifiziert man ${}({\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times },1,\cdot )$ mit ${}(\mathbb {Z} /(p-1),0,+)$, so entspricht ${}-1$ dem Element ${}{\frac {p-1}{2}}$, und ${}-1$ besitzt genau dann eine Quadratwurzel, wenn ${}{\frac {p-1}{2}}$ in ${}\mathbb {Z} /(p-1)$ ein Vielfaches von ${}2$ ist. Dies ist aber genau dann der Fall, wenn ${}{\frac {p-1}{2}}$ selbst gerade ist, was zu ${}p=1\mod 4$ äquivalent ist.

$\Box$