Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Beschreibung des Legendre Symbols mit Summe/Fakt/Beweis

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Beweis
  1. Zur Berechnung von muss man bestimmen, ob der betragsmäßig kleinste Repräsentant von in positiv oder negativ ist. Dies hängt davon ab, ob zu einem Intervall der Form oder der Form gehört (wobei die Ränder wegen den Voraussetzungen unproblematisch sind). Dies hängt davon ab, ob gerade oder ungerade ist.
  2. Aus Teil (1) und dem Gaußschen Vorzeichenlemma folgt wegen (mit )

    die Behauptung.

  3. Sei nun ungerade. Dann ist eine ganze Zahl. Unter Verwendung von Teil (2) erhält man

    Für den Exponenten rechts gilt

    Wegen folgt nach dem zweiten Ergänzungssatz die Identität

    Man kann daher in der Gesamtgleichungskette

    kürzen und erhält die Aussage.

Zur bewiesenen Aussage