Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Beschreibung des Legendre Symbols mit Summe/Fakt/Beweis2

Beweis

1. Wir schreiben

   ${}\left\lfloor {\frac {2ki}{p}}\right\rfloor =\left\lfloor 2\left\lfloor {\frac {ki}{p}}\right\rfloor +2{\left({\frac {ki}{p}}-\left\lfloor {\frac {ki}{p}}\right\rfloor \right)}\right\rfloor =2\left\lfloor {\frac {ki}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor 2{\left({\frac {ki}{p}}-\left\lfloor {\frac {ki}{p}}\right\rfloor \right)}\right\rfloor \,.$

   Damit ist ${}\left\lfloor {\frac {2ki}{p}}\right\rfloor$ gerade genau dann, wenn ${}\left\lfloor 2{\left({\frac {ki}{p}}-\left\lfloor {\frac {ki}{p}}\right\rfloor \right)}\right\rfloor =0$ ist. Dies bedeutet ${}{\frac {ki}{p}}-\left\lfloor {\frac {ki}{p}}\right\rfloor <{\frac {1}{2}}$, was wiederum zu

   ${}ki-p\left\lfloor {\frac {ki}{p}}\right\rfloor <p/2\,$

   äquivalent ist. Der Term ${}ki-p\left\lfloor {\frac {ki}{p}}\right\rfloor$ ist der Rest von ${}ki$ bei Division durch ${}p$. Nach Definition ist ${}\epsilon _{i}$ genau dann ${}1$, wenn dieser Rest ${}<p/2$ ist.

2. Aus Teil (1) und dem Gaußschen Vorzeichenlemma folgt wegen (mit ${}t={\frac {p-1}{2}}$)

   ${}\left({\frac {k}{p}}\right)=\prod _{i=1}^{t}\epsilon _{i}=\prod _{i=1}^{t}(-1)^{\left\lfloor {\frac {2ki}{p}}\right\rfloor }=(-1)^{S(2k,p)}\,$

   die Behauptung.

3. Sei nun ${}k$ ungerade. Dann ist ${}(p+k)/2$ eine ganze Zahl. Unter Verwendung von Teil (2) erhält man

   ${}\left({\frac {2}{p}}\right)\left({\frac {k}{p}}\right)=\left({\frac {2k}{p}}\right)=\left({\frac {2(p+k)}{p}}\right)=\left({\frac {(p+k)/2}{p}}\right)=(-1)^{S(p+k,p)}\,.$

   Für den Exponenten rechts gilt

   ${}S(p+k,p)=\sum _{i=1}^{t}\left\lfloor {\frac {i(p+k)}{p}}\right\rfloor =\sum _{i=1}^{t}\left\lfloor {\frac {ik}{p}}\right\rfloor +\sum _{i=1}^{t}i=S(k,p)+{\frac {(t+1)t}{2}}\,.$

   Wegen ${}{\frac {(t+1)t}{2}}={\frac {(p+1)}{2}}\cdot {\frac {(p-1)}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {p^{2}-1}{8}}$ folgt nach dem zweiten Ergänzungssatz die Identität

   ${}\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {(t+1)t}{2}}\,.$

   Man kann daher in der Gesamtgleichungskette

   ${}\left({\frac {2}{p}}\right)\left({\frac {k}{p}}\right)=(-1)^{S(p+k,p)}=(-1)^{S(k,p)+{\frac {(t+1)t}{2}}}=(-1)^{S(k,p)}(-1)^{\frac {(t+1)t}{2}}=(-1)^{S(k,p)}\left({\frac {2}{p}}\right)\,$

   kürzen und erhält die Aussage.

Zur bewiesenen Aussage