Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Beschreibung des Legendre Symbols mit Summe/Fakt/Beweis2

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Beweis
  1. Wir schreiben

    Damit ist gerade genau dann, wenn ist. Dies bedeutet , was wiederum zu

    äquivalent ist. Der Term ist der Rest von bei Division durch . Nach Definition ist genau dann , wenn dieser Rest ist.

  2. Aus Teil (1) und dem Gaußschen Vorzeichenlemma folgt wegen (mit )

    die Behauptung.

  3. Sei nun ungerade. Dann ist eine ganze Zahl. Unter Verwendung von Teil (2) erhält man

    Für den Exponenten rechts gilt

    Wegen folgt nach dem zweiten Ergänzungssatz die Identität

    Man kann daher in der Gesamtgleichungskette

    kürzen und erhält die Aussage.